Aprendizagens Essenciais — Matemática

3.º Ciclo do Ensino Básico · 9.º Ano (com articulação vertical do 8.º)

Conteúdos das tabelas AE organizados por matéria de exame

Tema: Números

N.ºs Reais — Dízimas Números · 9.º

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Significado de número real

Objetivos de aprendizagem

Ações estratégicas / exemplos

  • Informar que \(\sqrt{2}\) e \(\pi\) não são racionais e identificá-los como dízimas infinitas não periódicas.
  • Promover o reconhecimento de que entre dois números existe sempre um número racional.
    Ex.: indica um número entre \(7{,}45\) e \(7{,}46\); a partir da resposta, pedir novo enquadramento aumentando uma casa decimal.
  • Analisar a representação decimal de frações com período “grande” (ex. \(\frac{1}{17}\)) e confrontar com dízimas infinitas não periódicas.
  • Identificar regularidades em dízimas e descrever a lei de formação de uma dízima infinita, justificando que não é periódica.
    Ex.: \(0{,}2\,4\,6\,8\,10\,12\ldots\) ; \(0{,}1\,10\,100\,1000\ldots\)
  • Conduzir ao reconhecimento de que \(\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\).
  • Diferenciar frações \(\frac{1}{n}\) que dão dízima finita das que dão dízima infinita (recurso à calculadora).
    Ex.: \(\frac{1}{25}\) é finita, \(\frac{1}{3}\) é infinita — apresentar conjeturas.

Articulação (8.º ano): reconhecer que um número racional se representa por dízima finita ou infinita periódica; frações da forma \(\frac{a}{9}\) (com \(a\) natural, \(1\)–\(8\)) não admitem representação decimal finita; distinção valor exato / valor aproximado.

Intervalos de N.ºs Reais Números · 9.º

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Representação e ordenação na reta real

Objetivos de aprendizagem

Ações estratégicas / exemplos

  • Representar números reais na reta com construções geométricas em AGD (ex. GeoGebra), ligando ao Teorema de Pitágoras.
  • Aplicar a transitividade de \(<\) e \(>\).
    Ex.: identificar quais de \(a,b,c\) pertencem a \([1,5]\) sabendo que \(1
  • Comparar irracionais com racionais por estimação/enquadramento.
    Ex.: \(3{,}14<\pi<3{,}15\).
  • Reconhecer que os intervalos são conjuntos infinitos e que há conjuntos infinitos (diferentes de \(\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q}\)) que não são intervalos.
  • Introduzir notação de teoria de conjuntos.
    Ex.: \(\pi\in[0,5]\) ; \(\{\sqrt3\}\subset\,]-1,2[\) ; \(]2,3[\cap[1,2[=\varnothing\).

Operações · Cálculo mental · Aproximações

Tema: Álgebra

Polinómios — Casos Notáveis Álgebra · 9.º

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Casos notáveis da multiplicação de binómios · Decomposição em fatores

Objetivos de aprendizagem

Ações estratégicas / exemplos

  • Aplicar a distributiva quer para fatorizar (pôr um monómio em evidência) quer para escrever o produto como soma de monómios.
  • Propor a generalização e justificação dos casos notáveis a partir das operações já trabalhadas.
    Ex.: questionar o que será o desenvolvimento do quadrado da soma de dois monómios; discutir erros; formular e justificar o caso notável.
  • Interpretação geométrica dos casos notáveis.
    Ex.: estudo da sucessão de termo geral \(n^2-1\), reconhecendo o caso notável e interpretando geometricamente a relação ordem-termo.

Articulação (8.º ano) — Polinómios: identificar monómios e polinómios; calcular o valor de um polinómio; adicionar e multiplicar polinómios; descrever propriedades de números/operações com recurso a polinómios.
Ex.: identificar polinómios entre \(2-3x+6\) ; \(x^2+2\) ; \(\frac{3}{x^2+1}\).

Lei do Anulamento do Produto Álgebra · 9.º

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Equações do 2.º grau a uma incógnita

Resolução de equações do 2.º grau

Objetivos de aprendizagem

Ações estratégicas / exemplos

  • Resolver equações incompletas por aplicação da lei do anulamento do produto.
    Ex.: “Qual o número cujo triplo do seu quadrado é igual ao seu quádruplo?” (a tentativa e erro dificilmente resolve).
  • Orientar os alunos, a partir das propriedades da multiplicação (elemento absorvente), a estabelecer a lei do anulamento do produto.
  • Analisar resoluções com aplicação correta e incorreta da lei, promovendo o sentido crítico e a autorregulação.
  • Resolver equações completas com caso notável quase evidente.
    Ex.: \(\left(x-\tfrac12\right)^2=0\) ; \(x^2-6x+9=0\).
  • Criar um algoritmo para as soluções de \(ax^2+bx=0\) a partir de \(a\) e \(b\) (ex. Scratch), desenvolvendo o pensamento computacional.
  • Resolver equações incompletas sem solução, com solução única ou com duas soluções, identificando as características de cada tipo.

Inequações Álgebra · 9.º

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Inequações do 1.º grau a uma incógnita

  • Analisar situações traduzidas por desigualdades para concluir que a monotonia da multiplicação não é extensível à multiplicação por uma constante negativa.

Inequações — Resoluções Álgebra · 9.º

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Resolução de inequações

  • Apresentar um conjunto de números e pedir que averiguem se há soluções de uma dada inequação.
  • Dar um conjunto de números e pedir exemplos de inequações que os admitam como soluções e outras sem soluções nesse conjunto.
  • Incentivar a representação geométrica das soluções e verificar se valores particulares pertencem ao conjunto-solução.
  • Resolver inequações em problemas que impliquem a “exclusão” de parte das soluções.
    Ex.: determinar para que valores de \(x\) os triângulos de lados \(x\), \(x-1\) e \(x-2\) têm perímetro inferior a \(8\).

Função Quadrática Álgebra · 9.º

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Funções quadráticas da forma \(f(x)=ax^2,\ a\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\)

  • Representar graficamente \(f(x)=ax^2\) com tecnologia, observando o efeito da variação do parâmetro \(a\).
  • Entre gráficos dados, identificar quais representam funções, quais são quadráticas da forma considerada e quais são afins.
  • Modelar funções quadráticas a partir de imagens com parábolas em AGD.
    Ex.: fotos de jatos de água; construções do arquiteto Santiago Calatrava.

Articulação (8.º ano) — Funções afins: \(f(x)=ax+b\); função linear como caso particular; efeito da variação dos parâmetros; representações múltiplas (gráfico, tabela, expressão); modelação com função afim.

Função Quadrática — Resoluções Álgebra · 9.º

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Objetivos e ações centrados na resolução de problemas com a função quadrática \(f(x)=ax^2\):

  • Determinar imagens e objetos a partir da expressão \(f(x)=ax^2\) (ex.: dado \(x\), calcular \(f(x)\); dado \(f(x)\), determinar \(x\)).
  • Relacionar pontos do gráfico com áreas de figuras (triângulos/trapézios) definidas por pontos do gráfico e dos eixos.
  • Distinguir, em contexto de problema, a variação quadrática da variação afim.
  • Aplicar a modelação com parábolas a situações reais (arquitetura, trajetórias).

Nota: no documento AE oficial, estes objetivos aparecem integrados no tópico “Funções quadráticas” — aqui destacados como bloco de resolução para efeitos de estudo.

Proporcionalidade Inversa Álgebra · 9.º

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Função de proporcionalidade inversa

  • Propor problemas com grandezas inversamente proporcionais e confrontar com outros tipos de variação.
  • Representar a mesma função em diferentes formas (expressão algébrica \(g(x)=\frac{k}{x}\), gráfico, tabela) num AGD.
  • Resolver problemas com velocidade e densidade, em colaboração com Físico-Química.
  • Modelação com recolha de dados.
    Ex.: observar uma fita métrica a distância fixa com canudos de igual diâmetro e comprimentos diferentes; relacionar o comprimento observado com o do canudo.

F. Quadrática e P. Inversa Álgebra · 9.º

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Bloco de articulação entre as duas famílias de funções do 9.º ano — comparação e resolução conjunta de problemas:

  • Distinguir, a partir de gráficos, expressões e tabelas, funções quadráticas \(f(x)=ax^2\), funções de proporcionalidade inversa \(g(x)=\frac{k}{x}\) e funções afins.
  • Reconhecer as características de cada família (parábola vs. hipérbole) e o significado dos parâmetros.
  • Resolver problemas que cruzam as duas funções (ex.: pontos de interseção de \(f\) e \(g\), leitura de valores num referencial cartesiano).
  • Valorizar as representações múltiplas e a conversão entre elas como apoio ao raciocínio.
Tema: Dados e Probabilidades

Probabilidades Dados · 9.º

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Formas de representar acontecimentos

  • Tabelas de dupla entrada para registar resultados.
    Ex.: soma das pintas no lançamento de dois dados cúbicos.
  • Diagrama em árvore para experiências em cadeia.
    Ex.: sexos dos 3 filhos de um casal — \(S=\{RRR,RRM,RMR,RMM,MRR,MRM,MMR,MMM\}\).

Operações com acontecimentos

  • Exemplificar com diagramas de Venn e terminologia de conjuntos (\(\cup,\cap,\varnothing\)).
    Ex.: lançamento de um dado, \(S=\{1,2,3,4,5,6\}\), \(A=\)“par”, \(B=\)“inferior a 3”; descrever \(A\cup B\), \(A\cap B\), \(\bar A\).

Regra de Laplace

  • Usar exemplos com condição de simetria.
    Ex.: lançar três moedas e calcular \(P(\text{pelo menos duas faces E})\) com diagrama em árvore.
  • Formalizar acontecimentos e calcular probabilidades com \(P=\dfrac{\text{casos favoráveis}}{\text{casos possíveis}}\).

Probabilidade da união de acontecimentos disjuntos

Articulação (8.º ano): experiência aleatória; espaço de resultados/amostral; acontecimentos (certo, impossível, elementares, compostos); resultados favoráveis; tabelas de probabilidade; probabilidade frequencista (frequência relativa a estabilizar em torno da probabilidade).

Tema: Geometria

Circunferência Geometria · 9.º

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Ângulo ao centro e ângulo inscrito numa circunferência

  • Explorar relações entre ângulos, arcos e cordas com AGD, seguida de confrontação e discussão.

Circunferência — Resoluções Geometria · 9.º

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  • Propor problemas que levam ao reconhecimento de propriedades.
    Ex.: “Construir um triângulo retângulo, conhecida a sua hipotenusa. O triângulo é único? Porquê?”
  • Incentivar conjeturas, generalizações e justificações.
    Ex.: “Qual a propriedade dos quadriláteros que se podem inscrever numa circunferência?”

Articulação (8.º ano) — Teorema de Pitágoras: explicar, aplicar e compreender uma demonstração; resolver problemas que requeiram o seu uso; ternos pitagóricos — base para muitos problemas de circunferência.

Lugares Geométricos Geometria · 9.º

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Construções e lugares geométricos

  • Construir diferentes polígonos estrelados com mais do que uma estratégia (AGD, programação visual, dobragens e cortes).
  • Construir, em grupo, pavimentações regulares e arquimedianas e modelos de figuras do quotidiano.
    Ex.: logótipos, elementos arquitetónicos como rosáceas.

Trigonometria Geometria · 9.º

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Razões trigonométricas no triângulo retângulo

  • Identificar as razões trigonométricas em triângulos retângulos semelhantes, aproveitando a conexão com a semelhança de triângulos.
  • Analisar situações simples que permitam distinguir as razões trigonométricas em presença.

Fórmulas: \(\sin^2x+\cos^2x=1\) ; \(\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\).

Trigonometria — Resoluções Geometria · 9.º

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  • Trabalho de projeto, em grupo, com saída do espaço de sala de aula.
    Ex.: determinar a largura de um rio com recurso a medições de distâncias e amplitudes de ângulos e confrontar com o valor obtido em mapas digitais.